Observación:
La siguiente actividad no corresponde a un juego de lógica ni a un desafío, como es lo habitual en este espacio. Lo que presento a continuación es una secuencia didáctica para trabajar el concepto de función cuadrática con la asistencia del software Geogebra, el cual nos permite experimentar, conjeturar, graficar, etc, etc, promoviendo un aprendizaje significativo de esos conceptos. Esta secuencia está disponible para todos los profes de Matemática que tengan la intención de "animarse" a superar las tradicionales estructuras del proceso de enseñanza-aprendizaje y "aggiornarse" a esta nueva sociedad del conocimiento mediada por las Tic
Secuencia didáctica- Estrategias con TIC2: Matemática II- Aula 008
PROFESORA:
Giovanetti Norma
TEMA: Funciones
cuadráticas.
CURSO: 4to
año
CONTEXTUALIZACIÓN:
Esta propuesta será ejecutada en un 4to año, compuesto por 29 alumnos.
Si bien el tema “función cuadrática” esta sugerido en los NAP para
desarrollarse en 3er año, debido a un acuerdo interno de los integrantes del
dpto. de matemática, se decidió incluirlo en el año inmediato posterior.
La escuela no ha sido beneficiada con la entrega de las netbooks, pero
cuenta con un pequeño gabinete de informática, con aproximadamente 12 a 16
computadoras de escritorio, de las cuales sólo 8 a 10 están funcionando. No
poseemos cañón, ni proyector. Este grupo de alumnos hizo uso del software Geogebra,
en sólo 2 o 3 ocasiones, el año
anterior, cuando trabajaron las funciones lineales.
CONTENIDOS A DESARROLLAR EN LA SECUENCIA: Funciones
cuadráticas- Identificación de su expresión general y análisis de sus
parámetros- Características generales de su gráfica (vértices, ramas, eje de simetría,
raíces, etc.)-Cálculo de raíces, eje de simetría y vértice- Uso de los distintos
tipos de lenguajes: coloquial, algebraico
y gráfico en la lectura, interpretación y análisis de situaciones reales.
SABERES PREVIOS: Noción de dependencia
entre variables .Lectura e interpretación de gráficos-Resolución de ecuaciones:
raíz de una ecuación lineal- Fórmulas de superficie de un rectángulo-manejo
elemental del software Geogebra.
PROPÓSITOS:
- Estimular
en los alumnos en el planteo de hipótesis, formulaciones y/o
suposiciones, y su consecuente comprobación mediante el uso de las
TIC (particularmente de Geogebra)
- Promover
un espíritu crítico y de colaboración con sus pares, durante el desarrollo
de la clase.
- Propiciar
instancias de reflexión sobre lo que se ha realizado, discusiones acerca
de los distintos procedimientos utilizados, y confrontación de las
conclusiones enunciadas por los alumnos.
- Establecer
relaciones entre los contenidos matemáticos (específicamente de las
funciones cuadráticas) y las otras disciplinas.
- Valorar el
uso de Geogebra para la construcción de gráficos, exploración y
formulación de conjeturas y para la resolución de problemas.
OBJETIVOS:
Que los alumnos puedan:
- Utilizar herramientas TIC, en
particular Geogebra, como asistente en el análisis de gráficas y en la
resolución de problemas.
- Comparar
las gráficas de diferentes funciones cuadráticas, mediante la
variación de sus parámetros.
- Enunciar
conclusiones simples que se desprendan de esas comparaciones.
- Calcular
las raíces de una función cuadrática (utilizando la fórmula de Baskara),eje
de simetría y vértice, y comparar con las obtenidas al graficar con
Geogebra.
- Reconocer
y utilizar en distintas situaciones las funciones cuadráticas como
elementos de modelización e interpretación de la realidad.
- Utilizar
los distintos lenguajes para modelizar y resolver situaciones
problemáticas.
Actividades Clase 1
Tiempo
previsto: 80 minutos
Actividad de Apertura:( 20 minutos)
La docente invita a los alumnos a repasar de
manera ágil y en la pizarra, situaciones problemáticas que recuerden haber
resuelto mediante el uso de funciones lineales intentando que, finalmente, expresen la fórmula general de dicha función
(Y =a.x+b) y la implicancia en la variación de sus parámetros “a” y “b”. A continuación les comenta que
trabajarán hoy con otro tipo de función, intentando definir sus parámetros y
las particularidades de los mismos, y que para ello, realizarán algunos
cálculos simples y hojas cuadriculadas para confeccionar su gráfica.
Presentación del
problema:
Situación problemática
“Una editorial quiere
lanzar una nueva revista al mercado conservando ciertas características de sus
otras publicaciones. En todas ellas se
verifica que la base es la mitad de la altura. Los diagramadores desean saber
cuál será la superficie total de la tapa”
Actividades de desarrollo: (40 minutos)
Inmediatamente se les propone a los
alumnos conformar grupos de 3 a 4 integrantes y se les sugiere completar la tabla y responder las cuestiones
que figuran en la guía de actividades.(Esta presentación se hará en formato
papel)
·
Den varios ejemplos de posibles medidas para la base y la
altura, y dejen esos datos asentados en la siguiente tabla.
Base (en cm)
|
Altura (en cm)
|
Superficie
total (en cm2)
|
·
Representen
gráficamente en la hoja cuadriculada los pares de puntos que han obtenido
mediante las dos últimas columnas de la tabla.
·
Escriban
una función que represente la superficie total de la página en función de la medida de la altura.
i.
¿Representa esa gráfica a una
función lineal?
ii.
¿Cómo se da la dependencia entre las
variables?
iii.
¿Qué se representa en cada eje?
·
Supongan
que ahora condicionan a los diseñadores para que la superficie de la tapa sea
de 600 cm2. ¿Qué posibles valores se te ocurren para la base y la
altura? ¿Existen varias opciones? Escribe algunas de ellas. ¿Todas ellas serán
viables para esta situación en particular? Discutan estas opciones con sus
compañeros y luego las compartiremos con el resto del curso.
Actividad de cierre: (20 minutos)
PUESTA EN COMÚN
Una vez que
se ha verificado que todos los grupos han finalizado, se les pide que un
integrante de cada grupo, pase a la pizarra y le cuente al resto de sus
compañeros los valores hallados para la confección de la tabla y cuál fue la
función encontrada. ¿En qué difiere básicamente de la función lineal? ¿Qué
pares de valores hallaron para una tapa de 600 cm2? ¿Es posible más de una opción con la última
condición impuesta? (Estas preguntas tienen como finalidad que el alumno descubra
que por lo general hay dos soluciones
posibles, pero no necesariamente ambas
son viables para esa situación)
RECURSOS
·
Herramientas
disponibles: lápiz y papel. Pizarra.
·
Guías
de actividades: enunciado del problema (parte uno)
·
Calculadoras
EVALUACIÓN
La
evaluación en esta primera clase consistirá en la observación directa del
docente del trabajo e interacción que realiza cada grupo entre sus integrantes
y con los otros grupos; la predisposición para colaborar, y la argumentación
que los estudiantes realizan frente a las cuestiones que surgen.
La
intervención docente tendrá como finalidad estimular a los alumnos en la
búsqueda de posibles respuestas y/o soluciones, y fomentando el intercambio de
opiniones y conjeturas entre sus integrantes.
________________________________________________________________________
Actividades Clase 2
Tiempo
previsto: 80 minutos
Actividad de apertura: (10 minutos)
El docente
retoma el problema trabajado la clase anterior. Los alumnos releen el
enunciado; repasan los valores hallados
para las dimensiones de la revista y repasan la función que lograron definir para esa
situación.
Actividades de desarrollo: (55 minutos)
Se les
indica que a partir de esta clase
comenzaremos a utilizar Geogebra,
para ir
graficando las funciones que vamos definiendo, e intentaremos ir
descubriendo particularidades de las mismas. A continuación, se les indica:
1. Seleccionar la vista “algebra y
gráficos”.
2. Los alumnos, de manera individual,
representarán en GeoGebra los puntos encontrados, que se corresponderán con los
puntos de la tabla.
3. Utilizando la función “cónica dados
cinco de sus puntos”
, obtener la representación gráfica
correspondiente.
4. Una vez obtenida la gráfica, el
docente solicita a los alumnos situarse sobre la gráfica obtenida para observar
el nombre de la misma y su fórmula, para compararla con la obtenida en el
papel.
(En este momento la docente recorre particularmente atenta al
trabajo que cada grupo realiza en el software, asesorando y/o corrigiendo a
quiénes lo necesiten)
- Esos puntos ¿Están ubicados a lo ancho de toda la
gráfica? ¿Por qué no han obtenido
puntos en el semieje negativo de “x”, en este caso? Discute con tus
compañeros esta cuestión.
Una vez transcurridos unos 15 minutos, la docente realiza una
intervención en pizarra, para todo el curso, en la que se mencionarán que la gráfica obtenida recibe el nombre de PARÁBOLA y que ese es
el tipo de gráfica que se obtiene cada vez que se trabaja con una FUNCION
CUADRATICA. Allí se hará una sencilla puesta en común respecto a las
preguntas que se realizaron, poniendo el énfasis en que los alumnos comprendan
que las funciones se utilizan para modelizar problemas reales, pero que sus
gráficas, a veces deben acotarse para ajustarse a la realidad.
Inmediatamente después se les solicita avanzar un poco más en el análisis de la situación planteada
inicialmente, incorporando algunas otras condiciones, tal como lo indica el
siguiente enunciado:
·
Escriban
la función que represente la superficie
restante en función de la medida de la base.
·
Representen
gráficamente esa función con geogebra,
introduciendo la misma en la sección “entrada”, y compárenla con la obtenida
anteriormente. Discutan con sus compañeros las diferencias observadas.
·
¿Qué
conclusiones pueden enunciar a partir de esa comparación?
|
|
Teniendo
en cuenta la segunda parte del problema:
·
¿Cuál
es la expresión de la función al agregar esta última condición?
·
Representen
gráficamente esa función con geogebra y
compárenla con las otras dos obtenidas anteriormente. Discutan con sus
compañeros las diferencias y similitudes observadas.
·
¿Cómo
resulta la nueva gráfica en relación con la anterior?
·
¿Pasa por los mismos puntos?
·
¿Qué nuevas conclusiones pueden enunciar a partir
de esa comparación?
Actividad de cierre: (15 minutos)
PUESTA EN COMÚN
En el cierre de esta segunda clase, el docente comprueba
mediante una serie de preguntas (ver abajo) si los alumnos han podido descubrir
cómo varía una función cuadrática a
medida que se incorporan otros parámetros en la misma, aprovechando la oportunidad
para señalar cuáles son los elementos básicos de esa función: ramas, eje de
simetría, vértice (máximo o mínimo) y raíces, Para poder realizar un análisis más
detallado de esos elementos, se les solicita
ver detenidamente las siguientes presentaciones en Slideshare para la
próxima clase.(Estos enlaces serán presentados en el grupo cerrado de Facebook,
que los alumnos utilizan habitualmente con varios docentes de la institución,
cuando se les indica alguna tarea para el hogar))
(Este último
sólo debe ser visualizado hasta la diapositiva Nª 20)
PREGUNTAS PARA EL CIERRE
¿Qué cambios se observan en la
segunda gráfica respecto de la primera? ¿Y en la última gráfica obtenida
respecto de las anteriores? ¿Qué tipo de
desplazamiento tiene la parábola resultante de la segunda y tercer situación?
¿Encuentras alguna relación entre el término independiente hallado en la última
expresión y el de una función lineal, que viste el año pasado?
RECURSOS
·
Herramientas
disponibles: lápiz y papel. Pizarra.
·
Guías
de actividades: enunciado del problema (parte dos)
·
Bibliografía:
Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2. Traducción de Liliana Saidon.
·
Presentaciones
de slideshare.
EVALUACIÓN
La evaluación de la segunda clase está
enfocada en el seguimiento que el docente realiza, respecto a las reflexiones,
comentarios y deducciones que se van presentando a lo largo de la clase y como
respuesta a las preguntas sugeridas en la guía de actividades.
Actividades Clase 3
Tiempo
previsto: 80 minutos
Actividad de apertura: (20 minutos)
El docente
retoma las conclusiones a las que se abordaron en la puesta en común de la
clase anterior, y se van asentando en la pizarra.
A
continuación, el docente irá planteando una serie de preguntas tendientes a
verificar qué nuevos elementos de la parábola (vértice, eje de simetría, raíces
e intersección con el eje “Y”), han descubierto luego de visualizar los videos sugeridos
para esta clase. Particularmente se centrará en remarcar que en ocasiones no es
muy sencillo encontrar los valores que verifican la situación planteada (Raíces),
y que para ello existe una fórmula resolutiva: “la fórmula de Baskara”, que nos
facilita ese cálculo.
Actividades de desarrollo: (60 minutos)
Uno de los propósitos de esta clase es estudiar
el comportamiento de la función cuadrática al variar sus parámetros “a”, “b”
y “c”, utilizando cada uno de los deslizadores
asociados a la expresión algebraica. Para ello, se les solicita a los alumnos
que vuelvan a graficar las funciones trabajadas, y utilizando el ícono “intersección entre dos objetos”,
identifiquen en la vista gráfica las raíces, el punto de intersección con el
eje “Y” y el vértice de las parábolas
obtenidas. Luego, utilizando las fórmulas que se observaron en los videos
sugeridos, calcular esos valores para verificar la coincidencia. (Este último
paso tiene como finalidad, que el alumno verifique por sí mismo la correlatividad entre el resultado de una
fórmula aplicada y su visualización gráfica)
Actividad de cierre: (20 minutos)
PUESTA EN COMÚN
El docente centrará
esta puesta en común, en verificar si todos los alumnos lograron arribar a las
mismas soluciones para las raíces, el punto de intersección con el eje “Y” y el
vértice de las parábolas obtenidas,
aprovechando esa ocasión para hablar sobre la concavidad, abertura, eje de
simetría, etc. Cada alumno escribirá las
conclusiones a las que arribe, en su cuaderno de clase.
Para que los
alumnos puedan autoevaluarse en algunos de los conceptos estudiados se les
sugiere ingresar a http://conteni2.educarex.es/mats/11826/contenido/ donde encontrarán actividades muy simples y significativas
para realizar.
RECURSOS
·
Herramientas
disponibles: lápiz y papel. Pizarra.
·
Software
Geogebra
·
Calculadora
·
Bibliografía:
Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2. Traducción de Liliana Saidon.
Evaluación Final
Se propone a los alumnos resolver las siguientes situaciones:
1. “El
campo de una cancha de fútbol tiene actualmente las siguientes
dimensiones: Su largo es el doble de su ancho. Como está en proceso de remodelación,
los dueños han decidido disminuirle 2 metros tanto a uno como al otro, para ubicar en esa
nueva zona un pequeño kiosco”
i)
Realiza
un gráfico ilustrativo de la situación presentada, consignando allí los datos
que surgirán de la remodelación.
ii) Escribe una función que represente el
área de la cancha en función de su ancho.
iii) Representa gráficamente esa función
utilizando Geogebra.
iv) Desde la vista gráfica de Geogebra, identifica:
·
Las
coordenadas del vértice de la parábola.
·
La
ecuación del eje de simetría de la parábola.
·
El/los
punto/s de corte de la parábola con el eje “x”
·
Intersección
con el eje “Y”
2. Calcula ahora los elementos
visualizados en Geogebra, y compara resultados.
3. Supone que la superficie de ese
terreno debe ser de 264 m2 ¿Cuáles
serán las dimensiones de ese campo de
fútbol?
4. “El producto de dos números
consecutivos es 132. ¿Cuáles son esos dos números?
FUNDAMENTACIÓN DE LA PROPUESTA
Cada
vez con mayor énfasis y en forma más vertiginosa van desarrollándose nuevas
formas de comunicación y socialización que marcan una profunda modificación en
las relaciones interpersonales, y nuestro actual sistema educativo no es ajeno
a estas grandes transformaciones, cuyo actual desafío está centrado en la alfabetización digital.
Numerosos
autores dan cuenta de la importancia de incluir las Tic dentro del proceso
educativo, como un elemento que favorece
la inclusión y la apropiación de nuevos aprendizajes, respetando las diferentes
capacidades y posibilidades de los estudiantes.
La
matemática es una disciplina cuya estructura está ligada profundamente a la
interpretación y resolución de problemas, a través de sus diferentes lenguajes:
coloquial, algebraico y gráfico, y sus recursos y procedimientos deben estar
orientados a promover en los estudiantes una actitud de desafío que los invite
a plantear conjeturas, confrontar puntos de vista, discutir ideas y buscar individual y/o grupalmente
alternativas para su solución. Es mediante este intercambio de ideas y
opiniones donde sometemos nuestras convicciones a la confrontación con otros
puntos de vista y, es justo en ese “preciso y precioso” instante donde se
produce la retroalimentación que nos permite aprender del y con el otro.
Las nuevas
tecnologías (el software GeoGebra en nuestro caso) cumplen, entre
otras, las funciones de motivar, despertar y mantener el interés; proporcionar
información; guiar los aprendizajes de los estudiantes; organizar la
información, relacionar, crear y aplicar los conocimientos, pero sabemos que
por sí solas no nos conducen a un éxito seguro.
A decir de Irma Saiz (2006) “Las nuevas tecnologías están
brindando a la enseñanza valiosas herramientas, pero sabemos que las TIC no
solucionarán por sí solas todos los problemas educativos. Al contrario,
sobreestimarlas puede conducir a que disminuyan los intentos legítimos de
integración provechosa. Ni todas las propuestas con medios tecnológicos les
resultan interesantes a los alumnos, ni todas permiten aprender matemática en
el sentido dado anteriormente. Justamente, la tecnología podría facilitar el
trabajo más rutinario de la matemática, para dedicar el tiempo a tareas más
complejas e interesantes.” Además Mishra y Koehler (2006)
afirman: “Saber cómo utilizar tecnología no es lo mismo que saber cómo enseñar
con tecnología.”
De acuerdo a los principios y sugerencias que proponen
los NAP, y asistida por el incalculable aporte de las nuevas tecnologías al
campo educativo, he diseñado esta propuesta proponiendo actividades que a través del uso de las TIC permiten al
alumno investigar conceptos y relaciones de manera más activa y asistiéndolos
en la interpretación de aquello que observan. La utilización de algunos recursos
disponibles en la web, resultan útiles a la hora de ejercitar, aplicar y
proponer una autoevaluación a los alumnos, ya que esto permitirá poner en
juego habilidades para testear, conjeturar, probar, experimentar y resolver, lo
cual propiciará en ellos el desarrollo de procesos de metacognición, ya
que el lenguaje visual atrae e interpela de manera directa a nuestros
adolescentes y los predispone positivamente para introducirse luego al lenguaje
algebraico, propio de esta asignatura. Trabajar luego con el planteo de
situaciones problemáticas modelizadas del conocimiento, en una dinámica grupal
donde la intervención docente sirve de mediador entre el alumno y los contenidos,
forman parte de un proceso de reflexión sobre los diferentes procedimientos de
resolución que pudieran haber surgido entre los integrantes de la clase. El uso
de GeoGebra es didácticamente potente en este momento de la clase, ya que
nos permite experimentar, modificando parámetros, explorar y formular
conjeturas, y finalmente generalizar a situaciones análogas.
El papel que cumple el docente en la apropiación del
conocimiento es el de mediador de los contenidos, crea las situaciones y
construye los dispositivos iniciales susceptibles de plantear problemas útiles
al alumno, y una serie de preguntas que los
invita a reflexionar y controlar situaciones soluciones precipitadas.
Finalmente, cabe mencionar la evaluación, no como un
instante único sino como un proceso totalmente dependiente y en estrecha
vinculación con los propósitos, objetivos y actividades de la clase. A decir de
Gulikers, Bastiaens y
Kirschner (2004) “Aprendizaje y evaluación son dos caras de la misma moneda,
e influyen fuertemente el uno en la otra. Para cambiar el aprendizaje del alumno
en la dirección del desarrollo de competencias auténticas es necesaria una
enseñanza basada en competencias auténticas, alienada con una evaluación basada
también en competencias auténticas” (). Modificando la manera en que evaluamos
aquello que aprenden nuestros alumnos tenemos la posibilidad de modificar lo
que realmente aprenden y, consecutivamente también tenemos la oportunidad de
modificar el modo en que se enseña lo que aprenden.
BIBLIOGRAFIA
·
Irma Saiz (2006). Una matemática con sentido
(entrevista). Consultada por última vez el 12 de enero de 2014, colección EDUC.AR)
·
Mishra, P., & Koehler, M. J. (2006).
Technological Pedagogical Content Knowledge: A new framework for teacher. [1]
·
Gulikers, Bastiaens y Kirschner
(2004) “La autenticidad de la evaluación” Dr.
Carles Monereo Font.
·
Material bibliográfico
del módulo “Desarrollo de propuestas educativas con TIC para Secundaria 2”
(2014)- Especialización Docente en
Educación y Tic, Ministerio de Educación de la Nación.
No hay comentarios:
Publicar un comentario